Винник Анастасия
Тайны натурального ряда чисел
Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского — это фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.
Фрактал - это...
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).
Связь треугольника Паскаля с треугольником Серпинского заключается в данном свойстве: если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в один цвет, а чётные — в другой, то образуется треугольник Серпинского.
Методы построения треугольника Серпинского
-
Итеративный метод
Середины сторон равностороннего треугольника Т0 соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество Т1, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество Т2, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность Т0 ⸧ Т1 ⸧ … Тn ⸧ …, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
-
«Пустой» треугольник
Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.
-
Метод хаоса («игра Хаос»)
Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы.
Суть «игры» такова. На плоскости зафиксирован правильный треугольник A1A2A3. Отмечают любую начальную точку B0. Затем случайным образом выбирают одну из трех вершин треугольника и отмечают точку B1 — середину отрезка с концами в этой вершине и в B0 (на рисунке справа случайно выбралась вершина A1). То же самое повторяют с точкой B1, чтобы получить B2. Потом получают точки B3, B4, и т. д. Важно, чтобы точка «прыгала» случайным образом, то есть чтобы каждый раз вершина треугольника выбиралась случайно, независимо от того, что было выбрано в предыдущие шаги. Удивительно, что если отмечать точки из последовательности Bi, то вскоре начнет проступать треугольник Серпинского.
-
Ещё один способ
Следующий способ получить треугольник Серпинского еще больше похож на обычную схему построения геометрических фракталов с помощью замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Здесь на каждом шаге составляющие ломаную отрезки заменяются на ломаную из трех звеньев (она сама получается в первой итерации). Откладывать эту ломаную нужно попеременно то вправо, то влево. Видно, что уже восьмая итерация очень близка к фракталу, и чем дальше, тем ближе будет подбираться к нему линия.
Свойства треугольника
-
Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
-
Треугольник Серпинского замкнут.
-
Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
-
Самоподобие — он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
-
Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую) Хаусдорфову размерность = In3/In2 ≈ 1, 585
-
В частности, треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
