top of page
верх

Варианты треугольника

Мы выяснили, что арифметический треугольник, известный нам как треугольник Паскаля, существовал задолго до трактата о нём. Рассмотрим треугольник сквозь века.

Треугольная последовательность биномиальных коэффициентов Halayudha

«Мрита-Сандживани» (Mṛtasañjīvanī ) – комментарий на Pingala's Chandaḥśāstra (самый ранний известный трактат о Чхандас, авторство Пингала) индийского математика Халаюдха (санскрит : हलायुध), написанный в честь царя Парамара Мунджи. В своем комментарии Халаюдха вводит понятие треугольника, который позже станет для нас треугольником Паскаля, - meru-prastaara. Неудивительно, что в Индии треугольник называют «Лестницей на гору Меру». X век н. э.

​

Треугольная таблица Насир ад-Дин ат-Туси

13 век н. э.

Туси составил таблицу для коэффициентов бинома вплоть до 12 степени и алгоритм для ее составления в форме треугольника. Хотя этот «треугольник» встречался ранее, например, в работах ал Самавала (12 век н. э.).

(На изображении Ташкентская рукопись, лист 122.)

Треугольник Хайяма

В трактате «Трудности арифметики» Омар Хайям описал формулу бинома для натуральных показателей (к сожалению его работа не дошла до наших дней). Он также исследовал треугольник  примерно в  1100 году, поэтому в Иране схему треугольника Паскаля называют треугольником Хайяма. Однако он, скорее всего , так же заимствовал его из более ранних китайских или индийских источников.

Треугольник Яна Хуэя

Несомненный формальный аналог треугольника Паскаля – треугольная схема Хэ ту («Изображение из [Желтой] реки») или комплекса Хэ ту и Ло шу («Писание из [реки] Ло»), образуемая ярусами из 1, 2, 3 и т.д. ромбовидно соединенных кружков, а содержательный аналог – состоящее из двух треугольников с вершинами вверху и внизу, ромбовидное расположение всех 64 гексаграмм, классифицирующее их по количеству черт ян и инь и представляющее результат, соответствующий коэффициентам бинома в 6й степени.

Самая ранняя сохранившаяся китайская иллюстрация « Треугольника Паскаля» взята из книги Яна «Сянцзе Цзючжан Суанфа» ( 詳解 九章 算法 ) 1261 года нашей эры, в которой Ян признал, что его метод нахождения квадратных и кубических корней с использованием «Треугольника Ян Хуэя» был изобретен математиком Цзя Сянь, который изложил его около 1100 года нашей эры. Он снова появился в публикации книги Чжу Шицзе « Нефритовое зеркало четырех неизвестных» ( 四 元 玉 鑒 ) 1303 года нашей эры.

Петр Апиан

В 1527 году Петрус Апиан (1495-1552), также известный как Петр Апиан, был назначен на должность математика в Ингольштадтском университете. В том же году Апиан опубликовал книгу счисления, направленную на нужды торговли: Ein newe und wolgegründte underweisungaller Kauffmans Rechnung in dreien Büchern (Новое и хорошо обоснованное руководство по всей торговой арифметике).

Приведенное ниже изображение взято из более позднего издания, опубликованного во Франкфурте в 1537 году.

Таблица биномиальных коэффициентов Михаэля Штифеля

Вслед за Апиано в 1544 году, Михаэль Штифель в своей "Полной арифметике" привел таблицу биномиальных коэффициентов. В ней элементы первого стобца равнялись единице, второго - натуральным числам. Элементы всех столбцов были образованы как сумма чисел предыдущей строки, стоящих над ним и слева от него.

​

Треугольник Тартальи

В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля. Однако он смотрит на неё геометрически: горизонтальная линия ab в верхней части треугольника разбита на два сегмента ac и cb, где точка c - вершина треугольника. Биномиальное расширение сводится к принятию (ac + cb) n для показателей n = 2, 3, 4, ⋯ при спуске по треугольнику. Символы снаружи представляют полномочия на этой ранней стадии алгебраической записи: c e = 2, c u = 3, c e. с е = 4 и т. д. 

"Общий трактат о числе и мире" 1556 год

- первое упоминание треугольника.

Треугольник Тартальи из General Trattato di Numeri et Misure , часть II, книга 2, стр. 69. Никколо Фонтана Тарталья

Треугольник Паскаля

В "Трактате об арифметическом треугольнике" в 1654 году Блез Паскаль привел таблицу биномиальных коэффициентов в форме треугольника, которую он нашел независимо от других ученых. Содержательность трактата далеко опережала своих предшественников

Несколько понятий связанных с Треугольником Паскаля:

Треугольник Люка

n-я строка треугольника люка может быть получена сложением n-й и (n-1)-й строк треугольника Паскаля

93-YQG5g7No.jpg
A-Pascals-Triangle-Fibonacci-Sequence-Ma

Треугольник Фибоначчи

Треугольник Фибоначчи или треугольник Хосойя — это треугольник, составленный из чисел (подобно треугольнику Паскаля) на основе чисел Фибоначчи. Каждое число является суммой двух чисел выше по левой или правой диагонали.

Вперёд!

Дополнительная информация для самых любознательных
(первоисточники информации):
bottom of page