Винник Анастасия
Тайны натурального ряда чисел
Практическая работа
Задание: постройте с использованием электронной таблицы (MS Excel и т.п.) фрактал, получаемый на основе исследования делимости на 5 первых 450-ти строк элементов треугольника Паскаля.
.png)
Для начала заполним 3 ячейки единицами.
Результат
Обоснование математического подхода
Электронные таблицы имеют ограничения при работе с длинными целыми числами. Excel при вводе больших чисел заменяет все цифры после 15-го разряда на нули.
Электронные таблицы при этом переходят к экспоненциальному (научному) формату. Если число больше, чем 1015, то оно хранится как вещественное число (неточно). Если пытаться получить треугольник Паскаля в ЭТ, то получатся вещественные числа. В данном случае остаток от деления на 5 найти будет невозможно.
Но можно заменить числа на их остатки от деления на 5. При этом картина не нарушится.
Доказательство:
Пусть мы складываем 2 числа 5n+r и 5k+b, здесь r и b остатки от деления каждого из них на 5.
Сумма 5n+r+5k+b= 5(n+k)+ r+b, в ней остатком от деления на 5 будет остаток от деления на 5 суммы r+b. Поэтому, если заменить сумму чисел суммой их остатков от деления на 5, то остатки получатся те же, что и получились бы при делении суммы самих чисел.
Сравните:
Обнаруженные закономерности
1. Числа первого столбца всегда равны 1.
2. Числа второго столбца составляют повторяющуюся последовательность 1 2 3 4 0.
При этом числа третьего столбца - это последовательностью чисел 1 3 1 0 0, а числа четвертого столбца составляют повторяющуюся последовательность 0 1 4 0 0.
3. Числа шестого столбца составляют повторяющуюся последовательность 4 раза цифра 1, 4 раза – 2, 4 раза – 3, 4 раза – 4, 4 раза – 0 (за исключением трех нулей).
4. Все столбцы с 5 по 25 имеют свою повторяющуюся последовательность до 126 строки (нули до первой единицы не берутся).
5. Последовательность всех столбцов начинается с 1, если не брать нули до нее.
6. Любой составной треугольник состоит из 15 разноцветных треугольников и 10 синих.